Трисекция угла. Второй вариант циркулем и линейкой. (no replies)
ТРИСЕКЦИЯ УГЛА – ЭЛЕГАНТНО И ПРОСТО – ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ. ВТОРОЙ ВАРИАНТ.
Михайлов Сергей Леонидович
Cmzar3008@Mail.ru
1. Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Частные построения - [2].
2. В подтверждение разрешимости трисекции [1] приведем второй интересный пример этого. Если взять любой равнобедренный треугольник ΔABC с углами при его основании AC меньше 60̊ - Рис.1. - и построить такой же угол от правого, к примеру угла ^ACB=α, - угол ^BCD=α, то его внешний луч CD пересечёт луч продолжение AE от другого угла при основании в некоторой новой точке D.
Рис.1.
Геометрическое построение, содержащее в себе углы в отношении 1:3.
Углы ^ACB=α=^CAB при основании AC равнобедренного треугольника ΔABC. Добавляя справа угол ^BCD=α, получаем новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α=^CAD+^ACD=α+2α очевидно.(https://iimg.su/i/tyQKCB).
3. Этим создан новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α. Тогда мы имеем уже как минимум два построения, содержащие в себе углы в соотношении 1:3, что автоматически переводит «неразрешимую задачу трисекции угла» в нерешённую, при всем уважении к «доказательству Ванцеля», алгебраически бесспорному в частности!
4.Далее используется объект, называемый для краткости «r- полоса», определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Существующая прямая называется «исходной» прямой, а созданную построением – называем «граничной».
5.Пусть нам дан произвольный угол ^ABC=β (Рис.2) и используя небольшой произвольный отрезок r построим две r- полосы внутри площади этого угла: от луча AB как исходной прямой – шириной r, квантор (r), а от луча BC – полосу шириной 2r. Они пересекутся в некоторой точке D, и мы получим отрезок BD и отложим его дугой до луча BC, получая так точку E там и отрезок DE как основание равнобедренного треугольника ΔDBE.
Рис.2.
Трисекция «совершенно неделимого натрое» угла ^ABC=β=60̊.
(Система Inkscape здесь). Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным. (https://iimg.su/i/vbCpKU).
6. Длина отрезка DE превосходит 2r на величину DF и, разделив его пополам, построим из его середины перпендикуляр на прямую (r), получая так точку L там и отрезок BL также. Отложим его до луча BC, получая так точку M там и отрезок LM как основание нового равнобедренного треугольника ΔLBM.
7. Если LM больше 2r, то действуем по схеме п.6., если LM=2r, то мы получаем решение трисекции угла ^ABC=β, так как равнобедренный треугольник ΔLBM тогда состоит из двух равных прямоугольных треугольников с малым r- катетом, а третий такой же получается, если из точки L опустить перпендикуляр на прямую (r). Здесь будет равенство треугольников по общей гипотенузе и малым r-катетам их.
8. Построения п.6-7 проводятся 1-2 раза для достижения трисекции β- угла как правило. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48̊ - 84̊ и показало отличные результаты. В большинстве построений достаточно 1-2 повторений предлагаемого алгоритма для отличного результата. При аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью в 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную и не более.
9. По сути мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность накапливается при каждом следующем шаге и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда.
10. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось.
11. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).
Михайлов Сергей Леонидович
Cmzar3008@Mail.ru
1. Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Частные построения - [2].
2. В подтверждение разрешимости трисекции [1] приведем второй интересный пример этого. Если взять любой равнобедренный треугольник ΔABC с углами при его основании AC меньше 60̊ - Рис.1. - и построить такой же угол от правого, к примеру угла ^ACB=α, - угол ^BCD=α, то его внешний луч CD пересечёт луч продолжение AE от другого угла при основании в некоторой новой точке D.
Рис.1.
Геометрическое построение, содержащее в себе углы в отношении 1:3.
Углы ^ACB=α=^CAB при основании AC равнобедренного треугольника ΔABC. Добавляя справа угол ^BCD=α, получаем новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α=^CAD+^ACD=α+2α очевидно.(https://iimg.su/i/tyQKCB).
3. Этим создан новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α. Тогда мы имеем уже как минимум два построения, содержащие в себе углы в соотношении 1:3, что автоматически переводит «неразрешимую задачу трисекции угла» в нерешённую, при всем уважении к «доказательству Ванцеля», алгебраически бесспорному в частности!
4.Далее используется объект, называемый для краткости «r- полоса», определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Существующая прямая называется «исходной» прямой, а созданную построением – называем «граничной».
5.Пусть нам дан произвольный угол ^ABC=β (Рис.2) и используя небольшой произвольный отрезок r построим две r- полосы внутри площади этого угла: от луча AB как исходной прямой – шириной r, квантор (r), а от луча BC – полосу шириной 2r. Они пересекутся в некоторой точке D, и мы получим отрезок BD и отложим его дугой до луча BC, получая так точку E там и отрезок DE как основание равнобедренного треугольника ΔDBE.
Рис.2.
Трисекция «совершенно неделимого натрое» угла ^ABC=β=60̊.
(Система Inkscape здесь). Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным. (https://iimg.su/i/vbCpKU).
6. Длина отрезка DE превосходит 2r на величину DF и, разделив его пополам, построим из его середины перпендикуляр на прямую (r), получая так точку L там и отрезок BL также. Отложим его до луча BC, получая так точку M там и отрезок LM как основание нового равнобедренного треугольника ΔLBM.
7. Если LM больше 2r, то действуем по схеме п.6., если LM=2r, то мы получаем решение трисекции угла ^ABC=β, так как равнобедренный треугольник ΔLBM тогда состоит из двух равных прямоугольных треугольников с малым r- катетом, а третий такой же получается, если из точки L опустить перпендикуляр на прямую (r). Здесь будет равенство треугольников по общей гипотенузе и малым r-катетам их.
8. Построения п.6-7 проводятся 1-2 раза для достижения трисекции β- угла как правило. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48̊ - 84̊ и показало отличные результаты. В большинстве построений достаточно 1-2 повторений предлагаемого алгоритма для отличного результата. При аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью в 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную и не более.
9. По сути мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность накапливается при каждом следующем шаге и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда.
10. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось.
11. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).