Числа Бога (p–адические)

Оказывается не так давно по историческим меркам математики придумали сабж и он изумителен.
Буква p вообще в названии от слова prime, т.е. "простые", но проще объяснять на десятичной записи (сразу замечу, что она не попадает под определение, но уже содержит важные свойства).
Такие числа выглядят как обычные натуральные числа но содержат бесконечно большое число цифр влево. Любое целое может быть превращено в p–адическое просто добавлением слева бесконечного числа нулей. Но в p–адических эта бесконечность принципиальна (в то время как у целых наоборот принципиальна конечность записи и смысла).
Какие последствия для математических практик это несёт? Давайте проверим.
Попробуем вычесть из нуля единицу (0–1=?).
При вычете первого разряда получается 9 и заём, заём переходит во второй разряд и мы получается в отличие от натуральных не имеем права сказать, что "число на вычете кончилось" — процесс никогда не останавливается — получается число
...999999999999999999999999999.
Замечу, что принципиально важно, что справа число кончается в конкретном месте, но слева у него бесконечная цепь девяток.
И это ровно то что есть –1.
Если мы попробуем добавить к...999 единицу, то опять же за счёт переполнений получим 0. p–адический ноль это бесконечная цепь нулей — всё как по определению.
То есть эти числа просто ведут себя как табло калькулятора но в котором бесконечное число разрядов.
...998 — это –2.
...997 — это –3.
И так далее.

Попробуем проверить этот неоспоримый факт с другой стороны.
Если...999 умножить на 10, то получиться...990. Добавим к результату 9 и получим снова...999.
То есть
...999*10 + 9 =...999
заменим...9 на переменную x и выразим её значение формулой:
x*10 + 9 = x
10x — x = –9
9x=–9
x=–1
Срослось! Всё так и есть –...999 и в арифметике и в формулах есть ничто иное как минус один!

А что если мы возьмём число не из всех девяток, а из всех единиц?
Давайте попробуем провернуть с ним такой же фокус:
...111*10 + 1 =...111
10*x + 1= x
10*x — x = –1
x*9 = –1

x = –1/9 =...99999999999999999999999999/9=...111111111111111111111111 Так стоп! У нас получилось мало того, что отрицательное, но еще и дробное число! –1/9!

И это логично — каждая цифра...111 в 9 раз меньше, чем каждая цифра...999, а значит и само число...111 в девять раз меньше, чем...999 — всё правильно.

Тут уже зададимся следующим упражнением для ума — попробуем решить как бы задачку из книжки головоломок — вывести такое 10–адическое число которое при умножении на число 7 (...0007) в результате даст в разрядах ровно...001.
Это забавное упражнение из загадок если вы его решите подведет вас к периодическому числу следующей структуры:
...(285714)3.
Т.е. в начале числа стоит тройка, а потом бесконечно повторяется фрагмент 285714. Вот можете в калькуляторе умножать сколько угодно разрядов такого числа на 7 и увидите, что за вычетом первой цифры (из–за "недоубегания" в бесконечность) в разрядах будет получаться...0000000000000000000000000000000000000000000000000000000001.
Сколько периодов вобьёте — столько нулей и будет.
А для адических как мы помним разрядов бесконечно и полученное число в точности равно 1.
А какое число при умножении на семь даёт в результате 1?
Это 1/7.
Бгха!

И это конечно удивительно — получается, что p–адические числа основываясь на одном только принципе записи чисел точно так же как в обычных натуральных числах тем не менее лёгким проворотом ума покрыли этим одновременно и отрицательные числа и дробные числа — революции которые древние математики совершали со скрипом и огромными усилиями. А тут это просто данность из коробки.
При этом последнее что надо заметить, что на базе десятичной системы исчисления можно сделать совсем абсурдное — подобрать такое число которое будет квадратом самого себя и не равно 0 или 1. Но это проблема именно десятиричной системы исчисления, когда базис на котором основана запись числа неоднозначно разлагается на множители. Тогда в задачках типа как мы выше подбирали разряды для умножения на 7 возникают неоднозначности и это очень плохо для математической строгости.

Поэтому истинные p–адические должны быть базированы на системе исчисления с базисом в простом числе — например двоичные или троичные числа могут быть базисом для p–адических. А примеры выше я просто привёл для наглядности.

Но вспомним еще вот что — каждую цифру в представлении десятичного числа можно представить как член суммы ряда степеней десяток помноженных на соответствующую цифру, то есть с точки зрения 10–адических мы просто сейчас выразили идею, что
1+10+10^2+10^3+10^4+.... = –1/9
Сумма всех степеней десяток это –1/9! Это именно то, что 10–адическое число (1) собой выражает.
Шок, трепет, но вот так. И что интересно, это полностью совпадает с суммой ряда геометрической прогрессии в области расходящихся значений — там где у классической математики суммировать расходящийся ряд нельзя у p–адических не просто можно, а это суть того, что выражает запись числа.

Написал aa-dav на math.d3.ru / комментировать