Может ли организация на УСН с выбранной специальной ставкой НДС (5% или 7%) по просьбе заказчика выставить счет‑фактуру со ставкой 20%?

По просьбе заказчика просто «переключиться» на 20% нельзя. Исключение — когда организация действует как налоговый агент по конкретным операциям — тогда возможна выписка счета‑фактуры со ставкой 20% и её отражение в учёте наряду с операциями по специальной ставке.